У меня сложилась такая ситуация во время обучения в институте

Здравствуйте, марина, как следует из вашей ситуации, пока вы учились в институте, некий гражданин по вашей трудовой книжке осуществлял трудовые функции в организации. Как только вы решили забрать трудовую, встал вопрос об отработке двух недель. Эти требования работодателя являются законными, т.к. формально вы работали. Если же говорить о пенсионных отчислениях, то за период вашей работы они в любом случае производились. Иначе работодатель бы не смог вас трудоустроить. Если даже записи в трудовой нет, то в базе ПФР стаж имеется, но для другого работодателя отсутствие опыта работы будет минусом.

Здравствуйте, необходимо переоформить начало ваших трудовых отношений на новый срок или оформить данный период как совместительство, Трудовой кодекс РФ от 30.12.2001 N 197-ФЗ не запрещает быть совместителем не только внутренним, но и внешним. Две недели не являются отработкой, это срок установленный работодателем для предупреждения об увольнении о данной норме стоило задуматься перед оформлением на другую работу.